[선형대수학] 행렬A의 행사다리꼴 및 기약행사다리꼴

아래와 같은 선형시스템이 있다. 

이 선형시스템이 어떻게 Ux = c로, Rx = d로 감소되는지 살펴보자. 감소시키는 이유는 좀 더 쉽게 이 시스템을 이해하기 위함이다. 여기서 U는 행렬A의 행사다리꼴(row echelon form, REF)을, R은 행렬A의 기약행사다리꼴(reduced row echelon form, RREF)을 의미한다. 

▶ Ax = b -> Ux = c

먼저 A를 행사다리꼴 U로 감소시켜주자. 메인 대각선 아래는 모두 0으로 만들어 주는 과정이다. 이에 따라 b는 c로 바뀐다. 

결과적으로 U와 c는

이다. 여기서 빨간색으로 강조한 친구들이 피봇(pivot)이다. 첫번째 피봇은 1이고 두번째 피봇은 3이다. 

참고로 A에서 U로 변환해주는 과정을 가우스 소거법이라고 부른다.

▶ Ux = c -> Rx = d

한 단계 더 나아가서 행렬 U를 기약행사다리꼴 R로 감소시켜보자. 피봇들은 1이 되게 하고, 피봇을 포함하고 있는 열의 다른 요소들은 0이 되게 만들면 된다. 이에 따라 벡터 c는 벡터 d로 바뀐다.  

이것을 통해 알게된 R과 d는 

이다. 피봇과 매칭되는 x의 요소들(여기서는)은 피봇 변수(pivot variable)가 되고, 나머지(여기서는 )는 자유 변수(free variable)가 된다. 그리고 피봇을 포함하고 있는 열은 피봇 열(pivot column)이 되고, 나머지 열은 자유 열(free column)이 된다. 

참고로 A에서 R로 변환해주는 과정을 가우스-요르단 소거법이라고 부른다. 

<참고자료>

[1] 박부성 지음, "8일간의 선형대수학", 경문사

[2] https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%82%AC%EB%8B%A4%EB%A6%AC%EA%BC%B4%ED%96%89%EB%A0%AC, 위키백과, "사다리꼴행렬"