[선형대수학] 두 행렬의 곱을 바라보는 세 가지 관점

선형대수학 관련해서 오랜만에 포스팅을 합니다. 선형대수학은 영상처리 및 컴퓨터비전 분야를 연구하면 할수록 중요한 과목이라는 사실을 깨닫게 됩니다. 이미지를 행렬로 표현할 수 있고, 이미지에 어떠한 처리를 가하는 것은 결국 행렬의 연산이기 때문입니다. 오늘은 두 행렬의 곱에 대해 글을 쓰려고 합니다. 

 

고등학교때 처음 행렬(matrix)에 대해 배웠을 때, 두 행렬의 곱을 구하는 방법은 단 한가지였다.

 

두 행렬의 곱을 바라보는 관점1:

"행렬A와 행렬B를 곱한 결과 생성된 행렬AB의 (i, j) 요소는 행렬A의 i번째 행(row)과 행렬B의 j번째 열(column)을 곱한 것이다."

 

지금이야 이 방식을 이처럼 말로 표현할 수 있지만(매우 설명이 난해하긴 하지만), 그 당시만 해도 그냥 막연히 푸는 방법만 알았다. 사실 말을 어렵게 해서 그렇지 다들 알고 있는 방식일 것이다. 다음 예를 살펴보면, "아~ 이거였어! 이걸 뭐 이렇게 어렵게 설명했어!"라는 말이 나올 것이다. 

 

관점1 설명 예제

 

첫번째 관점의 핵심적인 연산은 행벡터와 열벡터의 곱인데, 이런 방식으로 대응되는 요소들을 곱하고 더해주는 것을 바로 내적(inner product)이라고 부른다. 

 

대학과정에 오면 이 관점을 넘어서서 두 가지의 관점을 더 제시해준다. 사실상 좀 더 의미있는 관점들이라고 볼 수 있다. 각각 하나씩 살펴보자. 

 

두 행렬의 곱을 바라보는 관점2: 

"행렬A와 행렬B를 곱한 결과 생성된 행렬AB의 j번째 열은 행렬A에 행렬B의 j번째 열을 곱해준 것이다."

 

그러니까 행렬AB의 첫번째 열은 행렬A에 행렬B의 첫번째 열을 곱해준 것이고, 행렬AB의 두번째 열은 행렬A에 행렬B의 두번째 열을 곱해준 것이란 뜻이다. 이 또한 위의 설명만 보면 머리가 아플 것이다. 아래 그림을 보면서 이해해보자. 

 

관점2 설명 예제

 

두번째 관점은 한 번에 한 열씩 계산해줄 수 있다. 첫번째 관점은 한 번에 한 요소씩 계산해줬던 것과 차이가 있다. 그런데 두번째 관점에서 한 열씩 계산하기 위해서는 위 그림과 같이 행렬과 열벡터를 곱해줘야한다. 벡터를 일종의 행렬로 보고 관점1의 방식으로 계산을 해줄 수도 있겠지만, 그렇게 한다면 이 관점2 방식의 장점이 사라진다. 대신 행렬과 열벡터의 곱을 다음과 같이 계산하자. 행렬과 열벡터의 곱은 행렬의 열벡터들을 열벡터의 요소들을 계수(coefficient)로 삼아 선형조합(linear combination)해주는 것과 같다. 이 말도 조금 어려우니 아래 그림으로 살펴보자. 

 

벡터 (1, 4), 벡터 (2, 5), 벡터 (3, 6)을 계수 7, 9, 11로 선형조합했고, 벡터 (1, 4), 벡터 (2, 5), 벡터 (3, 6)을 계수 8, 10, 12로 선형조합했다. 행렬과 열벡터의 곱은 이러한 물리적 의미가 있는 것이다. 마지막으로 세번째 관점에 대해서 살펴보자. 

 

두 행렬의 곱을 바라보는 관점3: 

"행렬A와 행렬B를 곱한 결과 생성된 행렬AB의 i번째 행은 행렬A의 i번째 행에 행렬B를 곱해준 것이다."

 

관점2가 열의 관점에서 행렬A, B를 곱했다면, 관점3은 행의 관점에서 곱한다. 세 번째 관점은 한번에 한 행씩 계산해줄 수 있다. 

 

관점3 설명 예제

이번에는 행벡터와 행렬을 곱해줘야한다. 계산 방식은 관점2와 유사하다. 이번에는 행렬A의 행벡터의 요소들을 계수로 삼아 행렬B의 행벡터들을 선형조합해준다. 

 

벡터 (7, 8), 벡터 (9, 10), 벡터 (11, 12)를 계수 1, 2, 3으로 선형조합했고, 벡터 (7, 8), 벡터 (9, 10), 벡터 (11, 12)을 계수 4, 5, 6으로 선형조합했다. 행벡터과 행렬의 곱은 이러한 물리적 의미가 있는 것이다. 

 

 

세가지 관점을 요약해보자. 첫번째 관점은 행렬A와 행렬B의 곱 행렬AB를 구할 때 한번에 하나의 요소를 계산해주고, 두번째 관점은 한번에 하나의 열을 계산해주고, 세번째 관점은 한번에 하나의 행을 계산해준다.

 

 

<참고자료>

[1] Gilbert Strang, "Linear algebra and its applications(제4판)", BROOKS/COLE CENGAGE Learning